笔记：李群与李代数求导

最近一段时间在推 $J a co bian$ ，会用到一些关于李代数求导的知识。参考高博《视觉slam十四讲》一书，在此总结一些常用的关于李群与李代数相关的知识点。

前言

在SLAM中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的 $R$ , $t$ ，使得误差最小化。旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为 1）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构，李群是指具有连续（光滑）性质的群，李群在相机姿态估计时具有重要意义，接下来主要讨论特殊正交群 $S O (n)$ 与特殊欧式群 $S E (n)$ 。

特殊正交群与特殊欧式群

S O (n) = {R \in R^{n \times n} ∣ RR^{T} = I, det (R) = 1}

S E (3) = {T = [R 0^{T} t 1] \in R^{4 \times 4} ∣ R \in S O (3), t \in R^{3}}

在李群中，我们使用矩阵来表达一个旋转和平移，这存在冗余的自由度。三维空间的旋转只有三自由度，旋转+平移有六自由度。因此，我们希望寻找一个没有冗余自由度（但是相应的存在奇异性）的表示，也就是李代数 $so (3)$ 和 $se (3)$ 。且无论是旋转还是变换矩阵，它们都是对加法不封闭的，但是对乘法是封闭的。

李代数的引出

关于李代数理论的介绍，包含李代数/切空间/李群的介绍，非常形象。

对于任意旋转矩阵 $R$ ，它必定满足：

R R^{T} = I .

考虑它随时间发生变化，即从 $R$ 变为 $R (t)$ ，它仍然满足如下等式：

R (t) R (t)^{T} = I

对两侧同时对时间求导数得：

\dot{R} (t) R (t)^{T} + R (t) \dot{R} (t)^{T} = 0 则有： \dot{R} (t) R (t)^{T} = - (\dot{R} (t) R (t)^{T})^{T}

可见 $\dot{R} (t) R (t)^{T}$ 是一个反对称矩阵，将其记作 $A$ ，于是：

A^{T} = - A

所以它主对角线元素必为0，而非对角线元素则只有三个自由度。我们一定可以找到一个这样的向量 $a = [a_{1}, a_{2}, a_{3}]^{T}$ 使得：

a^{\land} = A = 0 a_{3} - a_{2} - a_{3} 0 a_{1} a_{2} - a_{1} 0

其中 $^{\land}$ 符号表示由向量转换为矩阵，反之我们也可以用 $^{\lor}$ 符号定义由矩阵转换为向量的方式：

A^{\lor} = a

现在，由于：

\dot{R} (t) R (t)^{T}

是一个反对称矩阵，所以我们一定可以找到一个三维向量 $ϕ (t) \in R^{3}$ 与之对应。于是我们有：

\dot{R} (t) R (t)^{T} = ϕ (t)^{\land}

左右各右乘 $R (t)$ ，由于其正交性，有：

\dot{R} (t) = ϕ (t)^{\land} R (t) = 0 ϕ_{3} - ϕ_{2} - ϕ_{3} 0 ϕ_{1} ϕ_{2} - ϕ_{1} 0 R (t)

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个矩阵 $ϕ (t)^{\land}$ 即可。由于 $ϕ (t)^{\land}$ 反映了导数性质，故称它在的正切空间(tangent space)上。同时在 $t_{0}$ 附近，设 $ϕ$ 保持为常数：

ϕ (t_{0}) = ϕ_{0}

我们有：

\dot{R} (t) = ϕ_{0}^{\land} R (t)

又因为初始值 $R (0) = I$ ，对上式进行求解可得：

R (t) = exp (ϕ_{0}^{\land} t) .

上式描述 $R$ 在局部的导数关系。

李代数 $so (3)$

上文提及的 $ϕ$ 是一种李代数， $S O (3)$ 对应的李代数是定义在 $R^{3}$ 上的向量，我们记作 $ϕ$ ，它对应一个反对称矩阵：

Φ = ϕ^{\land} = 0 ϕ_{3} - ϕ_{2} - ϕ_{3} 0 ϕ_{1} ϕ_{2} - ϕ_{1} 0 \in R^{3 \times 3}

由于它与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说元素是3维向量或者3维反对称矩阵，不加区别：

so (3) = {Φ = ϕ^{\land} \in R^{3 \times 3} ∣ ϕ \in R^{3}}

李代数 $se (3)$

$S E (3)$ 对应的李代数为 $se (3)$ ， $se (3)$ 定义在 $R^{6}$ 空间，其具体形式如下：

se (3) = {ξ = [ρ ϕ] \in R^{6}, ρ \in R^{3}, ϕ \in so (3), ξ^{\land} = [ϕ^{\land} 0^{T} ρ 0] \in R^{4 \times 4}}

$se (3)$ 是一个这样的六维向量，前三维表示平移，记作 $ρ$ ；后三维表示旋转，记作 $ϕ$ （有时候这两个参数会反过来，也可以）。

指数映射

$so (3)$ 以及 $se (3)$ 的指数映射分别对应于 $S O (3)$ 以及 $S E (3)$ ，它们之间的转换关系可以由下图表示：

李代数求导

对旋转矩阵李代数求导

对 $R$ 进行一次扰动 $Δ R$ ，假设左扰动 $Δ R$ 对应的李代数为，对求导，得到：

\frac{\partial ( Rp )}{\partial φ} = φ \to 0 lim \frac{exp ( φ ^{\land} ) 可作泰勒展开 exp ( ϕ ^{\land} ) p - exp ( ϕ ^{\land} ) p}{φ} \approx φ \to 0 lim \frac{( I + φ ^{\land} ) exp ( ϕ ^{\land} ) p - exp ( ϕ ^{\land} ) p}{φ} = φ \to 0 lim \frac{φ ^{\land} Rp}{φ} = φ \to 0 lim \frac{- ( Rp ) ^{\land} φ}{φ} = - (Rp)^{\land}

变换矩阵李代数求导

假设空间点 $p$ 经过一次变换 $T$ （对应的李代数为 $ξ$ ）后变为 $Tp$ 。当给 $T$ 左乘一个扰动 $Δ T = exp (δ ξ^{\land})$ ，设扰动项的李代数为 $δ ξ = [δ ρ, δ ϕ]^{T}$ ，有：

\frac{\partial ( Tp )}{\partial δ ξ} = δ ξ \to 0 lim \frac{exp ( δ ξ ^{\land} ) 可作泰勒展开 exp ( ξ ^{\land} ) p - exp ( ξ ^{\land} ) p}{δ ξ} \approx δ ξ \to 0 lim \frac{( I + δ ξ ^{\land} ) exp ( ξ ^{\land} ) p - exp ( ξ ^{\land} ) p}{δ ξ} = δ ξ \to 0 lim \frac{δ ξ ^{\land} exp ( ξ ^{\land} ) p}{δ ξ} = δ ξ \to 0 lim \frac{[ δ ϕ ^{\land} 0 ^{T} δ ρ 1 ] [ Rp + t 1 ]}{δ ξ} = δ ξ \to 0 lim \frac{[ δ ϕ ^{\land} ( Rp + t ) + δ ρ 0 ]}{δ ξ} = [I 0^{T} - (Rp + t)^{\land} 0^{T}] 上式分块求导 = (Tp)^{⨀}

上式中运算符号 $⨀$ 的含义：将一个齐次坐标的空间点变换成一个 $4 \times 6$ 的矩阵。

补充

$S E (3)$ 左扰

exp (Δ ξ^{\land}) exp (ξ^{\land}) \approx (I + [Δ ξ]_{\times}) exp (ξ) = (I_{4 \times 4} + [[Δ ϕ]_{\times} 0 Δ ρ 0]) [R 0 t 1] = [[Δ ϕ]_{\times} + I_{3 \times 3} 0 Δ ρ 1] [R 0 t 1] = [([Δ ϕ]_{\times} + I_{3 \times 3}) R 0 ([Δ ϕ]_{\times} + I_{3 \times 3}) t + Δ ρ 1]

$S E (3)$ 右扰

exp (ξ^{\land}) exp (Δ ξ^{\land}) \approx exp (ξ^{\land}) (I + [Δ ξ]_{\times}) = [R 0 t 1] (I_{4 \times 4} + [[Δ ϕ]_{\times} 0 Δ ρ 0]) = [R 0 t 1] [[Δ ϕ]_{\times} + I_{3 \times 3} 0 Δ ρ 1] = [R ([Δ ϕ]_{\times} + I_{3 \times 3}) 0 R Δ ρ + t 1]

前言