机器学习修炼手册

笔者对机器学习这门课程的学习开始于二年级的《数据挖掘》，当时老师对数据挖掘中的常用的算法做了一些介绍，但这仅仅是个入门教学，我并没有深入了解的其中的原理。到现在笔者深刻的意识到ML的重要性，于是抽空看了一些这方面的资料，整理了这一份文档。

机器学习算法包括，监督学习(回归、分类)以及非监督学习(聚类)。

梯度下降

\[\bbox[5px,border:2px solid red] { \theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial \theta}J(\theta) } \]

其中\(\alpha\)为学习率一般为很小的数字(0.001-0.1)，\(\theta\)为我们需要求解的参数，\(J(\theta)\)为能量函数或者为损失函数，通过上述公式可知，梯度下降是沿着损失函数梯度的反方向寻找迭代寻找最优值的过程。梯度下降容易陷入局部最极小点，所以我们要采取一定的措施来阻止这种现象的发生。

过拟合（Overfitting）

如果训练样本的特征过多，我们学习的假设可能在训练集上表现地很好，但是在验证集上表现地就不尽人意

避免过拟合

• 减少特征的大小
• 正则化
  • 在保证所有特征都保留的情况下，限制\(\theta\)的大小，即Small values for parameters \(\theta_0,\theta_1,\theta_2...\theta_n\)
  • 当特征量很多时，该方式仍然表现的很好
• 交叉验证(Cross Validation)

正则化

线性回归

对于线性回归而言，其损失函数形式如下： \[ J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}\right)^2 \] 引入正则化之后的损失函数的形式为： \[ J(\theta)=\frac{1}{2m}\left(\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2+\lambda\sum_{j=1}^{n}\theta_{j}^2\right) \]

GD迭代求解参数

Repeat{ \[ \theta_0:=\theta_0-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}\right)x_0^{(i)} \] \[ \theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\left(\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}+\lambda\theta_j\right) \] }

梯度下降法的学习率\(\alpha\)需要提前指定，并且还要制定收敛标准。

Normal Equation

\[ \theta=\left(x^Tx+\lambda\begin{bmatrix} {0}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {0}&{1}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{1}\\ \end{bmatrix}_{(n+1)(n+1)}\right)^{-1}x^Ty \]

上式是对线性回归正则化后的解析解。可以证明的是当\(\lambda>0\)时，求逆符号内部的式子总是可逆的。

逻辑回归

在没有加入正则化之前，逻辑回归的损失函数的形式是这样的：

\[ \begin{equation} \begin{aligned} J(\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}\log\left(h_{\theta}(x^{(i)})\right)+ (1-y^{(i)})\log\left(1-h_{\theta}(x^{(i)})\right)\right) \end{aligned} \end{equation} \]

加入正则项之后的形式为：

\[ \begin{equation} \begin{aligned} J(\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}\log\left(h_{\theta}(x^{(i)})\right)+(1-y^{(i)})\log\left(1-h_{\theta}(x^{(i)})\right)\right)\\ &+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 \end{aligned} \end{equation} \]

GD迭代求解参数

Repeat{ \[ \theta_0:=\theta_0-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}\right)x_0^{(i)}\] \[\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\left(\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}+\lambda\theta_j\right) \] }

SVM支持向量机

支持向量机又被称作最大间距（Large Margin）分类器，损失函数的形式是：

\[ \begin{equation} \begin{aligned} J(\theta)&=C\sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}cost_1\left(h_{\theta}(x^{(i)})\right)+(1-y^{(i)})cost_0\left(h_{\theta}(x^{(i)})\right)\right)\\ &+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 \end{aligned} \end{equation} \]

其中：\(h_{\theta}(x^{(i)})=\theta^Tx^{i}\)，\(cost_1\)以及\(cost_0\)的形式如下图所示：

\[ \begin{cases} \text{we want } \theta^Tx\ge1, & \text{if $y$ =1} \\[2ex] \text{we want } \theta^Tx\le-1, & \text{if $y$ =0} \end{cases} \]

在考虑到soft margin时的损失函数是hinge损失，SVM就等价于Hinge损失函数+L2正则。此时损失函数为0时候就对应着非支持向量样本的作用，“从而所有的普通样本都不参与最终超平面的决定，这才是支持向量机最大的优势所在，对训练样本数目的依赖大大减少，而且提高了训练效率”。 以下是七月在线大神July写的一篇关于SVM的介绍，个人觉得不错。分享下：支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）。